Вопросы к коллоквиуму по линейной алгебре.

1 семестр 2003/2004 уч.г., факультет АВТ.
Лектор: Б.В.Карпов.

1. Дать определение декартовой системы координат, декартовых координат точки. Дать определение полярной системы координат, полярных координат точки. Вывести формулы перехода от полярных координат к декартовым и обратно.
2. Дать определение комплексного числа, сложения и умножения комплексных чисел, вещественных и чисто мнимых чисел, алгебраической формы комплексного числа.
3. Сформулировать свойства сложения и умножения комплексных чисел. Доказать, что всякое ненулевое комплексное число обладает обратным.
4. Дать определение модуля, аргумента и тригонометрической формы комплексного числа. Вывести условие равенства комплексных чисел в тригонометрической форме.
5. Вывести формулу для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме. Изложить геометрический смысл умножения комплексных чисел.
6. Доказать формулу Муавра. Определить показательную функцию чисто мнимого аргумента, вывести формулы Эйлера.
7. Объяснить понятие вектора, понятие направления, дать определение длины вектора. Определить нулевой вектор, сформулировать простейшие свойства векторов.
8. Дать определение и сформулировать свойства линейных операций над векторами.
9. Дать определение коллинеарных векторов, доказать их пропорциональность. Доказать утверждение о линейной независимости неколлинеарных векторов и теорему о разложении вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.
10. Дать определение компланарных векторов, доказать их свойства. Доказать теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
11. Дать определение базиса на плоскости и в пространстве, координат вектора в данном базисе. Изложить свойства координат вектора.
12. Дать определение и изложить свойства декартовых координат вектора. Перевести условие коллинеарности векторов на язык координат.
13. Дать определение направляющих косинусов данного вектора, вывести их связь с координатами. Доказать основное соотношение между направляющими косинусами. Определить орт вектора, вывести формулы для его нахождения.
14. Вывести формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.
15. Дать определение и изложить свойства проекции вектора на ось.
16. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить связь с проекцией вектора на ось. Доказать условие коллинеарности векторов на языке скалярного произведения.
17. Изложить свойства скалярного произведения. Выразить длину вектора, угол между векторами и условие коллинеарности векторов через скалярное произведение.
18. Доказать формулы, выражающие скалярное произведение векторов и угол между векторами через декартовы координаты. Выразить через координаты условие перпендикулярности векторов.
19. Дать определение определителя 2-го порядка, изложить его геометрический смысл.
20. Дать определение определителя 3-го порядка. Сформулировать свойства определителей. Привести примеры.
21. Дать определение правой и левой тройки векторов, правой и левой систем координат в пространстве. Объяснить, как меняется тип тройки при перестановках векторов.
22. Дать определение векторного произведения, изложить его свойства. Доказать условие коллинеарности векторов на языке векторного произведения.
23. Вывести формулу, выражающую векторное произведение через декартовы координаты сомножителей. Вывести формулу для площади параллелограмма.
24. Дать определение смешанного произведения. Доказать условие компланарности векторов.
25. Доказать теорему о геометрическом смысле смешанного произведения и формулу, выражающую смешанное произведение через декартовы координаты.

На главную страницу

Hosted by uCoz