1 семестр 2003/2004 уч.г., факультет АВТ.
Группы С–14, С–15, СК–11.
Лектор: Б.В.Карпов.
1. Дать определение декартовой системы координат, декартовых
координат точки. Дать определение полярной системы координат,
полярных координат точки. Вывести формулы перехода от полярных
координат к декартовым и обратно.
2. Дать определение комплексного числа, сложения и умножения
комплексных чисел, вещественных чисел. Доказать, что сложение и умножение вещественных и комплексных чисел согласованы. Дать определение мнимой единицы, чисто мнимых чисел и алгебраической формы комплексного числа.
3. Сформулировать свойства сложения и умножения комплексных чисел.
Доказать, что всякое ненулевое комплексное число обладает
обратным.
4. Дать определение модуля, аргумента и тригонометрической формы
комплексного числа. Вывести условие равенства комплексных чисел в
тригонометрической форме.
5. Вывести формулу для произведения комплексных чисел в
тригонометрической форме. Изложить геометрический смысл умножения
комплексных чисел.
6. Доказать формулу Муавра. Определить показательную функцию чисто
мнимого аргумента, вывести формулы Эйлера.
7. Объяснить понятие вектора, понятие направления, дать
определение длины вектора. Определить нулевой вектор,
сформулировать простейшие свойства векторов.
8. Дать определение и сформулировать свойства линейных операций
над векторами.
9. Дать определение коллинеарных векторов, доказать их
пропорциональность. Доказать утверждение о линейной независимости
неколлинеарных векторов и теорему о разложении вектора плоскости
по двум неколлинеарным векторам.
10. Дать определение компланарных векторов, доказать их свойства.
Доказать теорему о разложении вектора по трем некомпланарным
векторам.
11. Дать определение базиса на плоскости и в пространстве,
координат вектора в данном базисе. Изложить свойства координат
вектора.
12. Дать определение и изложить свойства декартовых координат
вектора. Перевести условие коллинеарности векторов на язык
координат.
13. Дать определение направляющих косинусов данного вектора,
вывести их связь с координатами. Доказать основное соотношение
между направляющими косинусами. Определить орт вектора,
вывести формулы для его нахождения.
14. Вывести формулы для координат точки, делящей отрезок в данном
отношении.
15. Дать определение и изложить свойства проекции вектора на ось.
16. Дать определение скалярного произведения векторов, изложить
связь с проекцией вектора на ось. Доказать условие коллинеарности
векторов на языке скалярного произведения.
17. Изложить свойства скалярного произведения. Выразить длину
вектора, угол между векторами и условие коллинеарности векторов
через скалярное произведение.
18. Доказать формулы, выражающие скалярное произведение векторов и
угол между векторами через декартовы координаты. Выразить через
координаты условие перпендикулярности векторов.
19. Дать определение определителя 2-го порядка, изложить его
геометрический смысл.
20. Дать определение определителя 3-го порядка. Сформулировать
свойства определителей. Привести примеры.
21. Дать определение правой и левой тройки векторов, правой и
левой систем координат в пространстве. Объяснить, как меняется тип
тройки при перестановках векторов.
22. Дать определение векторного произведения, изложить его
свойства. Доказать условие коллинеарности векторов на языке
векторного произведения.
23. Вывести формулу, выражающую векторное произведение через
декартовы координаты сомножителей. Вывести формулу для площади
параллелограмма.
24. Дать определение смешанного произведения. Доказать условие
компланарности векторов.
25. Доказать теорему о геометрическом смысле смешанного
произведения и формулу, выражающую смешанное произведение через
декартовы координаты.
26. Вывести уравнение прямой на плоскости по точке и нормали. Доказать теорему об общем
уравнении прямой на плоскости.
27. Описать случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости. Вывести формулу для
угла между прямыми.
28. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой на плоскости.
29. Доказать теорему о задании неравенствами полуплоскостей.
30. Вывести параметрические уравнения и каноническое уравнение прямой на плоскости, а также
уравнение прямой по двум точкам.
31. Вывести уравнение плоскости по точке и нормали. Доказать теорему об общем уравнении
плоскости.
32. Описать случаи взаимного расположения двух плоскостей. Вывести формулу для угла между
плоскостями.
33. Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости.
34. Доказать теорему о задании неравенствами полупространств.
35. Вывести уравнение плоскости, проходящей через три точки.
36. Вывести параметрические и канонические уравнение прямой в
пространстве. Доказать формулу для угла между прямыми.
37. Общие уравнения прямой в пространстве. Переход от них к параметрическим и каноническим
уравнениям.
38. Описать случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве. Вывести формулы
для расстояния между скрещивающимися и между параллельными прямыми.
39. Доказать формулу для угла между прямой и плоскостью. Описать случаи взаимного
расположения прямой и плоскости в пространстве.
40. Дать определение матрицы, суммы матриц, произведения матрицы на число. Изложить свойства
этих операций.
41. Дать определение произведения матриц. Изложить свойства умножения матриц.
42. Дать определение системы линейных уравнений, решения системы. Дать определение матрицы
и расширенной матрицы системы линейных уравнений.
43. Дать определение элементарных преобразований матриц, ступенчатой и главной ступенчатой
матрицы. Изложить теорему о приведении матрицы к ступенчатому виду.
44. Дать определение эквивалентных систем линейных уравнений. Доказать, что при элементарных
преобразованиях расширенной матрицы получается система, эквивалентная исходной.
45. Дать определение совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем. Сформулировать
признаки совместности (несовместности) и определенности линейных систем в терминах
(главного) ступенчатого вида матрицы системы.
46. Изложить метод Гаусса решения линейных систем на примере (в билете будет дана система
из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными).
47. Дать определение обратной матрицы, доказать ее единственность. Изложить вычисление
обратной матрицы методом Гаусса.
На главную страницу